Als Periode bezeichnet man in der Mathematik eine nachdem Komma eines Dezimalbruches sich stets wieder wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge.

Periodische Darstellungen rationaler Zahlen treten in jedem Stellenwertsystem auf, dieser Artikel beschrĂ€nkt sich jedoch der Einfachheit halber auf die Beschreibung von BrĂŒchen in dem Dezimalsystem. In anderen Zahlensystemen sind jedoch nicht die gleichen Zahlen periodisch; Die nichtperiodische Dezimalzahl 0,1 ist z.B. in dem BinĂ€rsystem periodisch. Periodische und Nichtperiodische Zahlen sind daher keine mathematisch besonderen Gruppe innerhalb der Bruchzahlen .

Beispiele:

0,3333333333333333333... (und stets weiter 3)
1,565656565656565656...  (und stets weiter mit 56)
59,073123451234512345... (und stets weiter mit 12345)

Um die Zahl aufzuschreiben notiert man ĂŒber der sich wiederholenden Zahl bzw. Zahlenfolge einen Balken.

Beispiel:

Perioden treten in dem Dezimalsystem stets dann auf, wenn sich der Nenner des zugrunde liegenden Bruches nicht ausschließlich durch die Primfaktoren 2 und 5 erzeugen lĂ€sst -- 2 und 5 sind die Primfaktoren der Zahl 10, der Basis des Dezimalsystems. Ist der Nenner eine Primzahl (außer 2 und 5), so hat die Periode höchstens eine LĂ€nge, die um eins niedriger ist, als der Wert des Nenners (in den Beispielen fett dargestellt).

Beispiele:

1/3  = 0,3333...
1/7  = 0,142857142857...
1/11 = 0,0909090909...
1/13 = 0,076923076923...
1/17 = 0,0588235294117647...
1/19 = 0,052631578947368421...

Periodische Zahlen gehören zur Menge der rationalen Zahlen (vulgo Bruchzahlen ) und lassen sich daher stets auch als Bruch schreiben. Die Periode steht dabei in dem ZĂ€hler, in dem Nenner stehen soviele Neunen, wie die Periode Stellen hat. FĂŒr jede Nachkommastelle vor der eigentlichen Zahlenfolge hĂ€ngt man dann eine Null an den Nenner an. Danach kann eventuell noch gekĂŒrzt werden:

0,33333333...  = 3/9         = 1/3
0,55555555...  = 5/9
0,516516516... = 516/999     = 172/333
0,00606060...  = 60/9900     = 1/165
0,83333333...  = 8/10 + 3/90 = 72/90 + 3/90 = 75/90 = 5/6

Wie oben beschrieben kann man den Wert von 0,999999... zu 9/9 berechnen. Da 9/9 jedoch exakt gleich 1 ist, ist

0,999999... = 1.

Diese Tatsache ist anschaulich schwer verstÀndlich, mathematisch jedoch richtig. Sie hÀngt eng mit der Definition eines Dezimalbruchs als unendliche Reihe zusammen.

Ebenso wird 0,7999999... zu 0,8 usw.

In der Analysis genannt eine Periode den Abstand, im sich die Funktionswerte einer Periodischen Funktion wiederholen.